(滿分：100分考試時間：150分鐘)

專業(yè)基礎(chǔ)知識部分

一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)

1.下列運算中，正確的是()。

A.x2+x2=x4B.x2÷x=x2

C.x3-x2=xD.x·x2=x3

2.在下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()。

3.下圖是某一幾何體的三視圖，則這個幾何體是()。

A.圓柱體B.圓錐體

C.正方體D.球體

4.9的平方根是()。

A.3B.±3

C.-3D.81

5.如圖，圓錐形煙囪帽的底面直徑為80cm，母線長為50cm，則這樣的煙囪帽的側(cè)面積是()。

A.4 000πcm2

B.3 600πcm2

C.2 000πcm2

D.1 000πcm2

6.設(shè)集合M={直線｝，P={圓｝，則集合M∩P中的元素的個數(shù)為()

A.0B.1

C.2D.0或1或2

7.若sinα>tanα>cotα(-π4<α<π2)，則α∈()

A.(-π2，-π4)B.(-π4，0)

C.(0，π4)D.(π4，π2)

8.如果奇函數(shù)f(x) 在[3，7]上是增函數(shù)且最小值為5，那么f(x)在區(qū)間[-7，-3]上是()

A.增函數(shù)且最小值為-5B.減函數(shù)且最小值是-5

C.增函數(shù)且最大值為-5D.減函數(shù)且最大值是-5

9.如果實數(shù)x、y滿足等式(x-2)2+y2=3，那么yx的最大值是()

A.12B.33

C.32D.3

10.設(shè)球的半徑為R, P、Q是球面上北緯60°圈上的兩點，這兩點在緯度圈上的劣弧的長是πR2，則這兩點的球面距離是()

A.3RB.2πR2

C.πR3D.πR2

二、填空題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)

11.已知：|x|=5，y=3，則x-y=。

12.計算：2aa2-9-1a-3=。

13.如圖，直線AB、CD相交于點O，OE⊥AB，垂足為O，如果∠EOD=42°，則∠AOC=。

14.將5個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有。

15.一個幾何體的三視圖如圖所示：其中，正視圖中△ABC的邊長是2的正三角形，俯視圖為正六邊形，那么該幾何體的體積為。

三、解答題(本大題共5小題，共35分)

16.(本小題滿分5分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2x-a=0。

(1)如果此方程有兩個不相等的實數(shù)根，求a的取值范圍;

(2)如果此方程的兩個實數(shù)根為x1、x2，且滿足1x1+1x2=-23，求a的值。

17.(本小題滿分5分)

如圖所示，⊙O的直徑AB=4，點P是AB延長線上的一點，過點P作⊙O的切線，切點為C，連接AC。

(1)若∠CPA=30°，求PC的長;

(2)若點P在AB的延長線上運動，∠CPA的平分線交AC于點M。你認為∠CMP的大小是否發(fā)生變化?若變化，請說明理由;若不變化，請求出∠CMP的值。

18.(本小題滿分5分)

下表為北京奧運會官方票務(wù)網(wǎng)站公布的幾種球類比賽的門票價格，某球迷準備用12 000元購買15張下表中球類比賽的門票：

比賽項目票價(元/場)

男籃1 000

足球800

乒乓球500

(1)若全部資金用來購買男籃門票和乒乓球門票，問這個球迷可以購買男籃門票和乒乓球門票各多少張?

(2)若在準備資金允許的范圍內(nèi)和總票數(shù)不變的前提下，這個球迷想購買上表中三種球類門票，其中足球門票與乒乓球門票數(shù)相同，且足球門票的費用不超過男籃門票的費用，問可以購買這三種球類門票各多少張?

19.(本小題滿分10分)

一座拱橋的輪廓是拋物線型(如圖所示)，拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m。

(1)將拋物線放在所給的直角坐標系中(如圖所示)，求拋物線的解析式;

(2)求支柱的長度;

(3)拱橋下地平面是雙向行車道(正中間是一條寬2m的隔離帶)，其中的一條行車道能否并排行駛寬2m、高3m的三輛汽車(汽車間的間隔忽略不計)?請說明你的理由。

20.(本小題滿分10分)

如圖①，OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=4。

(1)在OC邊上取一點D，將紙片沿AD翻折，使點O落在BC邊上的點E處，求D、E兩點的坐標;

(2)如圖②，若AE上有一動點P(不與A、E重合)自A點沿AE方向向E點勻速運動，運動的速度為每秒1個單位長度，設(shè)運動的時間為t秒(0 　　

(3)在(2)的條件下，當t為何值時，以A、M、E為頂點的三角形為等腰三角形，并求出相應(yīng)的時刻點M的坐標。

【參考答案】

一、選擇題

1.D 【解析】考查同底數(shù)冪相乘。

2.C 【解析】略。

3.A 【解析】略。

4.B 【解析】略。

5.C 【解析】展開后，扇形弧長為80π,扇形面積為12lR=12×50×80π=2 000πcm2。

6.A 【解析】M、P表示元素分別為直線和圓的兩個集合，它們沒有公共元素。故選A。

7.B 【解析】因-π4<α<π2，取α=-π6代入sinα>tanα>cotα，滿足條件式，則排除A、C、D，故選B。

8.C 【解析】構(gòu)造特殊函數(shù)f(x)=53x，顯然滿足題設(shè)條件，并易知f(x)在區(qū)間[-7，-3]上是增函數(shù)，且最大值為f(-3)=-5，故選C。

9.D 【解析】題中yx可寫成y-0x-0。聯(lián)想數(shù)學模型：過兩點的直線的斜率公式k=y2-y1x2-x1，可將問題看成圓(x-2)2+y2=3上的點與坐標原點O連線的斜率的最大值，即得D。

10.C 【解析】因緯線弧長>球面距離>直線距離，排除A、B、D，故選C。

二、填空題

11.2或-8

【解析】略。

12.1a+3

【解析】略。

13.48°

【解析】略。

14.25種

【解析】C15C44+C25C33+C35C22=25

15.32

【解析】h=3,a=1,V=13Sh=13×34×1×6×3=32

三、解答題

16.解：(1)△=(-2)2-4×1×(-a)=4+4a

∵方程有兩個不相等的實數(shù)根。∴△>0

即a>-1

(2)由題意得：x1+x2=2,x1·x2=-a

∵1x1+1x2=x1+x2x1x2=2-a,1x1+1x2=-23

∴2-a=-23∴a=3

17.解：(1)連接OC

由AB=4，得OC=2，在Rt△OPC中，∠CPO=30°，得PC=23

(2)不變

∠CMP=∠CAP+∠MPA=12∠COP+12∠CPA=12×90°=45°

18.解：(1)設(shè)購買男籃門票x張，則乒乓球門票(15-x)張,得：1 000x+500(15-x)=12 000，解得：x=9

∴15-x=15-9=6

(2)設(shè)足球門票與乒乓球門票數(shù)都購買y張，則男籃門票數(shù)為(15-2y)張，得：

800y+500y+1 000(15-2y)≤12 000

800y≤1 000(15-2y)

解得：427≤y≤5514。由y為正整數(shù)可得y=515-2y=5

因而，可以購買這三種門票各5張。

19.解：(1)根據(jù)題目條件，A、B、C的坐標分別是(-10，0)(10，0)(0，6)

設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+c

將B、C的坐標代入y=ax2+c，得6=c0=100a+c

解得a=-350,c=6

所以拋物線的表達式是y=-350x2+6。

(2)可設(shè)F(5，yF)，于是yF=-350×52+6=4.5

從而支柱MN的長度是10-4.5=5.5米。

(3)設(shè)DN是隔離帶的寬，NG是三輛車的寬度和，則G點坐標是(7，0)。

過G點作GH垂直AB交拋物線于H，則yH=-350×72+6≈3.06>3

根據(jù)拋物線的特點，可知一條行車道能并排行駛這樣的3輛汽車。

20.解：(1)依題意可知，折痕AD是四邊形OAED的對稱軸，

∴在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4

∴BE=AE2-AB2=52-42=3�！郈E=2

∴E點坐標為(2，4)。

在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，又∵DE=OD

∴(4-OD)2+22=OD2。解得：CD=52

∴D點坐標為(0，52)

(2)如圖①∵PM∥ED，∴△APM∽△AED。

∴PMED=APAE，又知AP=t，ED=52，AE=5

∴PM=t5×52=t2，又∵PE=5-t，

而顯然四邊形PMNE為矩形，

∴S矩形PMNE=PM·PE=t2×(5-t)=-12t2+52t

∴S四邊形PMNE=-12t-522+258，又∵0<52<5

∴當t=52時，S矩形PMNE有最大值258。

(3)①若以AE為等腰三角形的底，則ME=MA(如圖②)。

在Rt△AED中，ME=MA，∵PM⊥AE，∴P為AE的中點，

∴t=AP=12AE=52

又∵PM∥ED，∴M為AD的中點。

過點M作MF⊥OA，垂足為F，則MF是△OAD的中位線，

∴MF=12OD=54，OF=12OA=52

∴當t=52時，0<52<5△AME為等腰三角形。

此時M點坐標為52,54。

②若以AE為等腰三角形的腰，則AM=AE=5(如圖③)

在Rt△AOD中，AD=OD2+AO2=522+52=525

過點M作MF⊥OA，垂足為F。

∵PM∥ED∴△APM∽△AED∴APAE=AMAD

∴t=AP=AM·AEAD=5×5525=25，∴PM=12t=5

∴MF=MP=5，OF=OA-AF=OA-AP=5-25

∴當t=25時，(0<25<5)，此時M點坐標為(5-25,5)。

綜合①②可知，t=52或t=25時，以A、M、E為頂點的三角形為等腰三角形，相應(yīng)M點的坐標為52，54或(5-25，5)。